על ערכו של π בספרות חז"ל
מתוך חיבור שהוגש כעבודת גמר לקראת התואר MA "מוסמך אוניברסיטה": סוגיות מתמטיות בתלמוד מבט השוואתי עם המתמטיקה בעת העתיקה
מבוא
המסתורין סביב ערכו של היחס בין היקף המעגל לקוטרו המסומן באות היוונית π, ליווה משחר ימיה של המתמטיקה את המדענים ואנשי מעשה והיווה את אחת השאלות המרתקות בתחום זה. מסתורין זה נובע משני טעמים. הראשון, זהו יחס קבוע לכל מעגל בכל קוטר הוא. הטעם השני, מעצם היותו מספר אי רציונלי שהוא מספר ממשי שאיננו מנה של שני מספרים שלמים. שרידים מניסיונות חוזרים ונשנים להתמודד עם שאלת ערכו של π אנו מוצאים בספרות המתמטיקה היוונית, בספרות העתיקה של ההודים, הסינים, הבבלים וגם היהודים במשנה ובתלמוד. אפתח בפסקה הבאה בדיון בערכו של π כפי שמופיע במקומות שונים בספרות חז"ל, בספרות הפרשנית המסורתית וכן בספרות המחקרית ואתאר ערך זה עם הקירובים שהיו נהוגים בתרבות המצרית, הבבלית והיוונית בעת העתיקה.
אמשיך בפרשנות מאוחרת מתקופת ימה"ב בה הבסיס המתמטי היה מוצק יותר. בהמשך אשלב פרשנויות וגישות חוקרים הנשענות על ידע מתמטי ופיסיקלי שלא היה ידוע באותה העת.
מקורות סוגיית π בספרות חז"ל
מקור הסוגיה הגיאומטרית המתייחסת ליחס בין קוטר העיגול להיקפו נדונה במשנה הדנה במידות קורה עגולה המשמשת להכשר מבוי וזו לשונה: "...עגולה, רואין אותה כאילו היא מרובעת אם יש בה בִַהֵיקֵיפָה שלושה טפחים ויש בה רוחב טפח".[1]
שני מהלכים למשנה. קורה שיש בהיקפה 3 טפחים – קוטרה טפח. לפיכך, "רואים אותה כאילו" היא קורה רבועה שצלעה טפח כנדרש מקורה המכשירה מבוי על אף שבודאי ידעו שהקורה הרבועה רחבה יותר מעיגול, ב"רביע". המשמעות מדברי המשנה היא, שעל מנת להקל היא יוצרת פיקציה הנדסית, שיש לראות את פרופיל הקורה העגולה כריבוע ומאמצת היא את המספר 3 כיחס בין היקף העיגול לקוטרו.
"בה בִַהֵיקֵיפָה": הנוסח מובא מכ"י קופמן. נראה שאין תיבת "בה" אלא התחלת כתיבת התיבה "בהיקפה" שהסופר הפריד בתיבה שהתחיל בה בסוף שורה והשלים אותה בשורה הבאה. הכתיב חסר, כמו ברוב הנוסחאות. המגיה (כנראה המנקד), שהשלים את התיבה בהתחלת השורה הבאה תפס כנראה, שהמלה "בה" בסוף השורה היא לשון המשנה: "בה בִַהֵיקֵיפָה". למעשה אין "בה" בשום נוסח. "ויש בה רוחב טפח": ה"וו" של "ויש" היא "וו" הנשוא.[2] הבבלי, אימץ גם הוא כלל זה: "כל שיש בהיקפו ג' טפחים יש בו רחב טפח".[3] מכאן שגם לפיו ערכו של π עומד על 3. בהשוואה לערכו המדויק עד כדי 5 ספרות אחר הנקודה מתקבלת שגיאה העולה על 4.5% לפי החישוב:
ניכר, שלא נחה דעתם של האמוראים משגיאה זו, שמשום שלא מתקבלת על הדעת שגיאה כה גדולה בכל הקשור לפסיקת הלכות. כנראה שמסיבה זו שואל הבבלי, "מנא הני מילי".[5] ר' יוחנן, הנשען על המקרא כאסמכתא לכלל זה מתיאור בניית הכיור במקדש הראשון ע"י שלמה המלך, מצטט את הפסוק מספר מלכים המתאר בנייתו:[6]
יוצא, שלפי פסוק זה היחס בין היקף הכיור לקוטרו עומד על 3. ניכר שאין חכמים מוטרדים מסוגיית אי הדיוק בערכו של π משום הראיה המקראית לעומת הפרשנים הראשונים המנסים ליישב חוסר דיוק זה בפרשנותם לשאלת הבבלי, "מנא הני מילי". משום מה היה על ר' יוחנן להישען על הפסוק הרי היה לו לומר, צא ומדוד. אלא שאילו הייתה מבוצעת המדידה, היה עולה אי הדיוק. מתקבל הרושם, שתפיסת חכמים את תיאור המציאות בתחום ההלכה שואבת את כוחה מהמקורות ולאו דווקא מהריאליה. הווה אומר, אמיתות מתמטיות אינם מעניינם כל עוד יש להם בסיס טקסטואלי והוא אשר קובע את הריאליה. נראה אם כן, שהשאלה נשאלת מתוך כוונה להביא ראיה מפסוק משום סיבה זו, שבמציאות אין לו ראיה. עם זאת, גם הפסוק אינו תואם את המציאות המתמטית.
שאלת הבבלי בהמשך, "והא איכא שפתו" מחזקת הנחה זו, שחכמים מוטרדים דווקא מאי הדיוק בין לשון המקרא לבין לשון המשנה היות ולפי המקרא היחס בין ההיקף לרוחב הוא 3 ומשאלה זו של חכמים, שהרי עובי היה לשפת הכיור יוצא, שיחס זה קטן מ 3 ולפי דברים אלה דברי המשנה סותרים את דברי המקרא. לשון אחר, המהלך עד כה מעלה שהבבלי מניח שהעובי הובא בחשבון בהיקף הכיור והוא 30 אמות בעוד שלא הובא בחשבון רוחבו ואז יוצא שהיחס קטן יותר מ 3 ולפי לשונו של רש"י:
"דהוה עדיף על י' של חלל ואפילו הכי וקו שלושים הוא דבעי ותו לא".[7]
רב פפא דוחה גישה זו ומצטט את הסיפא של הפסוק המקראי:
"אמר רב פפא שפתו שפת פרח שושן כתיב ביה דכתיב ועביו טפח - ושפתו כמעשה כוס פרח שושן אלפים בת יכיל".[8]
מפרש רש"י: "בשוליו דפנותיו מלמטה, אבל מלמעלה דק מאוד כמעשה שפת כוס פרח ושושן".[9]
ששפת הכיור הייתה כה דקה בדומה לפרח השושן באופן שעוביו הולך ונהייה דק מהבסיס כלפי מעלה עד שבשפת הכיור הוא נעשה דק וזניח.
לא נחה דעת הבבלי המקשה: "והאיכא משהו". בכל זאת יש פה אי דיוק, שגם אם נניח ששפת הכיור דקה מאוד כפרח שושן ועוביו זניח, הרי עובי כלשהו יש לו ולכן, רוחבו אינו בשיעור עשר אמות אלא מעט יותר. זאת ועוד, אם היקפו 30 אמות, אזי ההיקף הפנימי קטן מפי 3 מרוחבו משום שיש להביא בחשבון הקוטר הכולל גם את העובי ויוצא, שהקוטר גדול מ 10 אמות ולכן היחס קטן מ 3 ולא כפי שמבינים מהמקרא. משיב הבבלי ואומר, "כי קא חשיב מגואי קא חשיב". מפרש רש"י: "מגוואי קא חשיב. קרא לההוא קו ל' להיקף דגואי חשיב ליה שאין עובי שפתו מוקף בו אלא קו שלושים הוא מקיף חלל שלושים".[10]
שגם ההיקף וגם הקוטר נמדדו מבפנים ומכאן נלמד הכלל "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח".
מתשובת הבבלי עולה שאין הוא מוטרד מסוגיית אי הדיוק ביחס בין ההיקף לקוטר אלא מאי ההתאמה בין דברי המקרא לדברי המשנה בשונה מהמפרשים המוטרדים דווקא מאי הדיוק בסוגיית אי הדיוק של π.
התוספות נותר עם אי הדיוק ומקשה: "והאיכא משהו - משמע שהחשבון מצומצם (כלומר מדויק) ..." וכאן הוא מעלה את הסוגיה שהיחס בין ההיקף לקוטר אינו בדיוק 3 כדברי המשנה ונותר עם הקושי "...דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות".[11]
עיקר הדברים בפסקה זו, שסוגיית אי הדיוק בערכו של π אינה על סדר יומם של חכמים, עיקר מאמציהם הפרשני הוא להתאים דברי המשנה למקרא. לעומתם, סוגיית אי התאמה זו נדונה על ידי הראשונים.
[1] עירובין א ה כ"י Kaufmann A50 Budapest Akademia.
[2] גולדברג, אברהם. פירוש למשנה מסכת עירובין בצירוף מבוא והערות. י"ל מאגנס. האוניברסיטה העברית. ירושלים. תשמ"ו.עמוד 15. אפשטיין מרחיב על "וו" הנשוא ומפרט את המופעים של "וו" זו במשנה בכל הנוסחאות ובמשניות קדומות ומדגיש שרגילה היא בייחוד בכ"י קופמן. אפשטיין, יעקב נחום הלוי. מבוא לנוסח המשנה. ירושלים. תש"ח.עמודים 1076-1086.
[3] כלל זה מובא במשנה גם באהלות יב ו, (השוו בבבלי עירובין יד ע"א-ע"ב, עירובין עו ע"א-ע"ב, סוכה ז ע"ב- ח ע"א, בבא בתרא קא ע"ב-קב ע"א, סוגיית אילנא דעולא, סוגיית כוורת ועוד.
[4] Lawrence, Mark Lesser. "Book of Numbers: Exploring Jewish Mathematics an wish High School. Department of Mathematical Sciences", The University of Texas at El Paso. 2006, P 19. Swapan, Kumar, Aadhikhari. "Babylon mathematics", Indian Journal of History of Science, 33(1). 1998, P 313 .
[5] עירובין יד ע"א. שאלה זו של הבבלי מהווה שאלת מפתח ופתח לפרשנויות שונות. שאלה זו, ראוי הייתה שתישאל כשאין אפשרות לדעת ערך זה, ואין כן כשיכלו למדוד ולדעת. ומכאן הקושי, מדוע היה הצורך להעלותה שהרי ניתן למדוד. ובקושי זה נתקלים הפרשנים והראשונים המעלים קושי זה ומנסים ליישבו מסיבות אפולוגטיות.
[6] מלכים א ז כג-כו.
[7] עירובין יד ע"א ד"ה: "והאיכא עובי שפתו".
[8] מלכים א ז כו.
[9] עירובין יד ע"א ד"ה: "ועביו טפח"
[10] עירובין יד ע"א. ד"ה: "מגוואי קא חשיב".
[11] עירובין יד ע"א ד"ה: "והא איכא משהו".
פרשנות ימה"ב לסוגיית הקושי באי הדיוק בערכו של π
בשונה מפשט הסוגיה ממנה עולה שעיקר המאמץ של חכמים ליישב את דברי המשנה עם המקרא, המפרשים מתקשים עם אי הדיוק בערכו של π כפי שעולה מדברי המשנה.
הרמב"ם, עומד על כך כשמבין שורות פירושו ניתן להבין שהוא עומד על בעיית ערכו של π כמספר אי רציונלי שלעולם לא ניתן להצביע על ערכו המדויק ושהקירוב של 31/7 היה ידוע ל"חכמי המידות" ולצורך הדיונים בבית המדרש הסתמכו חכמים על פשט המקרא ולהלכה נקבע, "כל שיש בהיקפו ג' טפחים רוחבו טפח". לשיטתו, כל מספר שננקוב להגדיר את ערכו של π לא יהיה נכון ואין בו שום אמת וככל שנתאמץ לערוך קירוב מדויק יותר לעולם לא נגיע לאמת המוחלטת [1].
המאירי [2], מזהה את π כמספר אי רציונאלי על אף שאינו נוקב בשם זה ומסביר, שידעו חכמים היטב כי הכלל שקבעו "כל שיש בהיקפו" אינו אלא קירוב וגם הוא נוקב ביחס מדויק יותר, 31/7 ומציין שיחס זה לעולם לא יושג ושהקירוב נועד לצרכים פרקטיים בלבד, לצורך פסיקת הלכה[3].
תוספות הרא"ש [4], גם הוא חש אי נוחות ומקשה, מה צורך הבבלי לשאול "מנא הני מילי" על דבר שניתן לבודקו באמצעות מדידה. משמע, שהבבלי מודע שכלל זה אינו עולה בקנה אחד עם כללי המתמטיקה וחש גם הוא באי הדיוק. אלא שניתן לתקף קושי זה בחשיבה, שצורך הבבלי להקשות "מנא הני מילי", לא בא מהקושי עקב תוצאת מדידה שנמדדה אלא ההיפך, היות ונסמך הבבלי על הכלל שמקורו במקרא, "כל שיש בהיקפו" לא נערכה המדידה כלל ועיקר. מהקושי "והא איכא משהו", מתקבלת התובנה שהבבלי חשב וידע שהחשבון "כל כך מופלג" ואינו אלא קירוב. תובנה זו עולה ומתחזקת גם מעצם השאלה, "והא איכא שפתו", אלא שגם כאשר משיב הבבלי, "ושפתו כמעשה פרח שושן" הוא עדיין מתקשה. לפי הרא"ש, מניח הבבלי ש"אכתי הוי מופלג". כלומר, שהכלל "כל שיש בהיקפו" הוא קירוב בלבד ואינו מדויק ושיעור ההיקף היה יותר מ 30 אמה ולכן קרוב יותר לערכו האמיתי [5].
הרלב"ג [6], מודע לאי הרציונאליות של π ומתייחס לשיעור אי הדיוק במקרא. על פי שיטתו, אי הדיוק אינו עולה על חצי אמה, שהוא שיעור מידה שבמקרא תמיד זניח[7].
הרשב"ץ [8], מתייחס גם הוא מאותו הטעם לקושי בצורך לשאול "מנא הני מילי" ומתפלמס על כך עם אנבשלום אפרים[9], שהרי ניתן לבצע מדידה פשוטה. הוא מצטט את הקושי של תוספות הרא"ש שהובא קודם[10], ומזכיר את חכמי יוון כבני סמכא שניתן להיתלות באילנם. לפי הסברו ובדומה לדברי הרמב"ם, ידעו חכמים דיוק טוב יותר לערכו של π אלא שהכלל נקבע לצורך קביעת הלכות ושיחס זה עומד על 3 משום שזו הלכה למשה מסיני אשר נועדה להקל בלימוד התורה[11].
מזהים אם כן שוני בגישות בהתמודדות עם הסוגיה בה מזהים קושי תיאולוגי בשאלה "מנא הני מילי". חז"ל מוטרדים מאי ההתאמה בין דברי המקרא לדברי המשנה ואילו הראשונים מוטרדים מאי הדיוק בערכו של π כפי שעולה מהמקרא. מעיסוק הסוגיה "והא איכא שפתו" ניכר מאמץ חכמים ליישב את אי ההתאמה בין המקרא לבין דברי המשנה שכן, אם מביאים בחשבון את עובי הכיור יוצא שדברי המקרא אינם מדויקים. חכמים היו מודעים לאי הדיוק של היחס בין "קוו" לבין "רוחבו" בהשוואה לערכו המתמטי[12], אולם אין רמז לכך שהוטרדו מכך ויש בעיסוק זה בכדי ללמד שעיקר מאמציהם הושקע כאמור ליישב אי התאמת דברי המקרא לדברי המשנה.
לעומת זאת, הראשונים, מזהים אי דיוק בשיעור של π ביחס לערכו האמיתי ובהתמודדות עם קושי זה מזהים שתי גישות. האחת, שמדובר בקירוב. היות ושיעורו של π לעולם לא יושג במדויק, אימצו את הקירוב "כל שיש בהיקפו..." ואי הדיוק ניתן להזנחה. הגישה השניה, שמידה זו מיועדת להקל בלימוד התלמידים בבתי המדרשות ולפיכך נבחר קירוב בו ניתן לבצע חישובים קלים.
המאפיין העיקרי בפרשנויות עד כה הוא, שעל אף הקושי העולה מהטקסט התלמודי השואל "מנא הני מילי", יישוב הקושי הוא בעל אופי אפולוגטי כשברקע יישוב קושי זה עולה הקביעה, שחכמים ידעו דיוק טוב יותר (31/7=π ) אלא לצורכי הלכה ולימוד נשענו הם על הקירוב 3= π.
את דרכי ההתמודדות עם הקושי התאולוגי שהסוגיה לכאורה אינה יודעת מתמטיקה פשוטה ניתן לסכם במרשם בו שני נתיבים, הנתיב האפולוגטי אותו בו נוקטים הראשונים על מנת ליישב את אי הדיוק בערכו של π; ניתנה מידה לחכמים ומידה לתלמידים לצורכי נוחות וקירוב, וזה של חכמים המנסים ליישב את אי הדיוק בדברי המשנה באמצעות המקרא והוספות עובי הים להתאמת הדברים.
[1] בפרושו למשנה עירובין א ה': "אם יש בהיקפה שלושה טפחים, יש בה רוחב טפח – יש לך לדעת כי ייחוס (היחס) אלכסון העגולה (בין קוטר העיגול) אל המסבב אותה (ההיקף העיגול) בלי ידוע.... אשר עליו סומכים חכמי המידות הלימודיות הוא יחוס האחד לשלושה ושביעית וכל עגולה שיהיה באלכסון שלה אמה יהיה בהיקפה שלוש אמות ושביעית בקירוב (3.142857 דיוק של שני מקומות אחר הנקודה), ולפי שזה לא יושג לעולם אלא בקירוב, לקחו הם בחשבון הגדול ואמרו "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רוחב טפח", וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה".
[2] ר' מנחם בן שלמה המאירי ( 1249 - 1315). מגדולי וחשובי מפרשי התלמוד. חי בחבל פרובנס בעיר פרפיניאן. חיבר ספרים רבים והחשוב בהם, "בית הבחירה" בו הוא מפרש על דרך הפשט עם נטייה לדברי הרמב"ם, כפי שמוצאים בפירוש זה. בפרשנותו, מרבה המאירי להישען על התלמוד הירושלמי. על הגותו וחייו ראו בהרחבה, הלברטל, משה. "ר' מנחם המאירי: בין תורה לחוכמה", תרביץ, סג', א. תשרי-כסליו. תשנ"ד, עמודים 63-118.
[3] הרשלר, משה. בית הבחירה על מסכת עירובין. מכון התלמוד הישראלי השלם. ירושלים. תשכ"ח.. בפרק ראשון בדף ס"ה מצטט המאירי את פירוש הרמב"ם למשנה כפי שהובא קודם:" יש לדעת כי יחוס אלכסון העגלה (הכוונה קוטר/רוחב) אל המסבב אותה (הכוונה היקף) בלי ידוע ואי אפשר לדבר בו לעולם באמת... ודרך המופת בזה הקרוב אשר עליו סומכים חכמי הלימודיות הוא ייחוס האחד לשלושה ושביעית, וכל עגולה שיהיה בה אלכסון שלה אמה, יהיה בהיקפה שלוש אמות ושביעית בקירוב ולפי שזה לא יושג לעולם, אלא בקירוב לקחו הם (חז"ל) בחשבון הגדול ואמרו: כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש בו רחב טפח וסמכו על זה במה שהוצרכו אליו מן המדידה בתורה".
[4] הרא"ש, ר' אשר בן יחיאל (1250 אשכנז – 1321 לערך, טולדו, ספרד) הוא מן הדמויות הבולטות בן חכמי ההלכה ופרשנות התלמוד. יצירתו הפרשנית הלכתית מהווה נושא ללימוד ומחקר. בידינו שלושה חיבורים של הרא"ש העוסקים בפרשנות התלמוד וההלכה: תוספות הרא"ש, פסקי הרא"ש ותשובות הרא"ש. מוסכם במחקר כי הגותו בתוספות הרא"ש מושתתת על תוספות ר"י הזקן והר"ש משאנץ עליהם הוסיף כאן וכאן מתוספות ר' יהודה שירליאון וכי עיקר כוונתו הייתה לתת בידי הלומד הספרדי מערכת תוספות מסודרת מבית מדרשו של הר"י הזקן, אשר תלווה את לימודי תלמוד בישיבות ספרד. כאמור, יש להבדיל בין תוספות הראש לבין פרשנות הרא"ש, המתבססת על דברי בעלי התוספות אשר קדמו לו. ראו בהרחבה, אורבך, אלימלך אפרים. בעלי התוספות. תולדותיהם. חיבוריהם. שיטתם. מוסד ביאליק, ירושלים. תשל"ו 1986. עמודים 590-599, אליצור, תהילה. "אי התאמות בין תוספות הרא"ש לפסקי הרא"ש בדיני נזיקין", שנתון המשפט .העברי של המכון לחקר המשפט העברי, כרך כו'. תשע"א, עמודים 1-42
[5] תוספות הרא"ש למסכת עירובין יג ע"א, כלל ב' סימן יט': "תמה לי מה שייך למיבעי הכא מנא הני מילי בדבר הנראה לעיניים ואדם יכול לעמוד עליו... ומייתי ראיה דקרא נמי קא עביד הכי דים של שלמה שהיה רחב עשר וקאמר קרא דקו שלושים אמה יסוב אותו אע"פ שהוא ארוך יותר... ותו פריך והא איכא משהו אע"פ שהוא כפרח שושן אכתי הוי מיפלג שהוא מחזיק יותר משלושים אמה: עכ"ל (עד כאן לשונו)".
[6] רבי לוי בן גרשום, הרלב"ג (1288 – 1344). פרשן המקרא, מדען, רופא, מתמטיקאי, ואחד מחשובי הוגי הדעות היהודיים. חי בצרפת בחבל פרובאנס שבדרום צרפת. תרומותיו היו בעיקר בתחומי המתמטיקה והאסטרונומיה. מחקריו באסטרונומיה תורגמו ללטינית בפקודת האפיפיור קלמנס השישי ועל שמו קרוי מכתש בירח, בשם Rabbi Levi. בתחומי המתמטיקה עסק בקומבינטוריקה ובאינדוקציה מתמטית ואף כתב על כך ספר בספרו "מעשה חושב". על תולדות חייו ראו, פלאטו, דב. "רבנו לוי בן-גרשון. (שרטוטים לדמותו ולתקופתו(", מאזנים, כ', ה', קט"ו. תש"ה, עמודים 314-318. כהן, כרמיאל. "פילוסוף, איש הלכה, ופרשן מקרא- ר' לוי בן גרשום וביאורו לתורה". שנתון לחקר המקרא והמזרח הקדום. כרך ב'. תש"ע, עמודים 167-188. על המתמטיקה של הרלב"ג ראו,
Simonson ,Shai. "The mathematics of Levi Ben Gershon, The Ralbag", Department of Mathematics and Computer Science, Stonehill College, North Easton. 2000 .
[7] Simonson ,Shai. "The mathematics of Levi Ben Gershon, The Ralbag", Department of Mathematics and Computer Science, Stonehill College, North Easton. 2000 . p 7-8
"שהיה רחב הים משפתו אל שפתו עשר אמות... והנה אמרו שקו שלשים באמה יסוב אותו סביב הוא על דרך קירוב כי ההיקף בעגול הוא מוסיף על שלשה בשעור בקוטר כמו שביעית הקוטר בקירוב מעט ואם אמרנו שמדת הקו הסובב היא לקוחה בחלל הים הנה יהיה יותר קרוב אל האמת אך יהיה בו קירוב מעט כי עביו היה טפח ולזה יהיה קטר חללו עשר אמות פחות שלישית אמה ויהיה הקיפו בקירוב יותר על שלשים אמה אמה ושלישית אמה".
[8] רבי שמעון בן צמח דוראן (הרשב"ץ, 1361 - 1444), נולד במיורקא שבספרד ויש אומרים בברצלונה. היה הוגה דעות ורופא והרביץ תורה ברבים. בזמן גזרות השמד (1392) עזב את ספרד וברח לצפון אפריקה ושם הפך לאחד מגדולי וחשובי רבני אלג'יריה. חיבר ספרי הלכה ופילוסופיה וספרו החשוב ביותר נודע בשם "שו"ת הרשב"ץ המכיל יתר מ 900 תשובות ומחולק לשלושה כרכים בהם חומר רב על תולדות היהודים. על תולדות חיו ראו, בן יעקב, אברהם. "ר' שמעון ב"ר צמח דוראן. רשב"ץ. למלאות חמש מאות שנים למותו. ר"ד-תש"ד (1444-1944)", מאזנים, כ, ו קטז. תש"ה, עמודים 364-365.
[9] בספר הרשב"ץ, תשובות שמעון בן צמח דוראן בסימן קכ"ט מתוארים חילופי איגרות בין הרשב"ץ לבין אנבשלום אפרים אליו הוא פונה בשאילתות הכרוכות בסוגיות מתמטיות. השאלות הופנו לאנבשלום אפרים משום ש"היה בקיא בחכמת התשבורת". אנבשלום מצוטט בספרו של הרשב"ץ שערך חישוב נפח ים שעשה שלמה כשהוא מביא בחשבון בחישוביו את עובי השפה, "טפח".
[10] ראו הערה 17, אורבך, אלימלך אפרים. בעלי התוספות. תולדותיהם. חיבוריהם. שיטתם. מוסד ביאליק, ירושלים. תשל"ו 1986 . עמודים 590-599. כמו כן, ריצ'לר פורס רשימת כתבי היד של ספרות התוספות המסודרת לפי סדר הש"ס עם הערכת שנת העתקה, סוג הכתיבה ופרטים נוספים לכל ערך ברשימה. פרטים אלה מסייעים בהשוואה וחקירת כתבי היד ונוסחאותיהם. ראו בהקשר הזה ר'יצ'לר, בנימין. "כתבי היד של התוספות על התלמוד", מחקרים במדעי היהדות, מחקרים לזכרו של ישראל מ' תא-שמע, ב', תבונות, מכללת הרצוג. תשע"ב, עמודים 771-785.
[11] שו"ת רשב"ץ חלק א סימן קסה: "...בידיעת שטח העיגול יש לנו בתלמוד דרך מסכים לדרך חכמי יון והוא "כמה מרובע יתר על העגול - רביע". ואתה תפסת עלי ואמרת שאינו מסכים אל האמת ואינו דרך לחכמי יון והארכת בזה. והעולה מדבריך כי החשבון הזה יש בו קירוב, כי לפי דרך חכמי התלמוד אין הקו הסובב יותר מג' דמיוני הקוטר, ולפי דקדוק חכמי יון הוא יותר מעט שהוא ג' דמיונים ושביעי. ואני לא ממני זה, שכבר ראיתי מה שכתבו התוס' בפ"ק דערובין בהא דתנן (י"ג ע"ב) כל שיש ברחבו טפח יש בהיקפו ג' טפחים ששאלו בגמרא (י"ד ע"א) ואמרו מנה"מ... והנה לך ברור שלא נעלם מגורסי התלמוד דקדוק היונים בענין זה... כשנשאו ונתנו בזה על עיקרים אלו, עשו זה לקרב הבנה אל תלמידים, לפי שלעולם ישנה אדם לתלמידיו בדרך קצרה, כשאיתא בפסחים (ג' ד') ובפרק אלו טרפות (חולין ס"ג עב'). אבל, לעניין מעשה יש לנו לדקדק העניין על פי הדקדוק האמיתי. ומסרוהו לחכמים יודע השיעורים. נמצא, כי ההלכה מסורה לתלמידים המתחילים, והמעשה מסור אל החכמים לדקדקו על פי האמת...אבל דבר מועט לא יחושו בו שלא לבלבל את התלמידים...".
[12] כך לפי פרשנות תוספות הרא"ש.
פרשנות עכשווית לסוגיית אי הדיוק בקירוב לערכו של π
הפרשנות העכשווית מתמודדת גם היא בדומה לפרשנות הראשונים, בסוגיית אי הדיוק בערכו של π. פרשנות זו מבוססת על רעיונות הנשענים על כללי מתמטיקה ופיסיקה שלא היו ידועים לחכמים ולפרשני ימה"ב ואלה משלבים יחדיו קורט דרשני, ויש בהם כדי ליישב את אי הדיוק. כותב שורות אלה מציע בסיפא רעיון המשך התומך בגישה החדשנית.
מתתיהו מונק, מציע שהבבלי נצטרך ללמוד כלל זה מהפסוק משום גזרת הכתוב, שהרי היה על הפסוק לנקוב בנתון אחד של ים של שלמה, או היקפו או רוחבו, שהרי ניתן לדעת מהנתון האחד על ערכו של השני.[1] אלא שכתיבת שתי המידות הללו במקרא יש בהם ללמד חידוש, שלצרכי הלכה יש להישען על לשון המקרא ולהביא בחשבון שהיחס בין קוטר העיגול להיקפו יעמוד על 1:3 ואל לו לתנא לסור מכלל זה. לפי הצעתו, נבחר הערך 3 לשיעורו של π מהסיבה ה"ניסית מיסטית". על פי ההצעה, ניסים התרחשו תדיר בבית המקדש ובגינן כללי הגיאומטריה השתנו משום שפעלו במציאות ובהוויה אנושית בחלל שכולו קדושה. [2] לשון אחר, בחלל עתיר אנרגיה בו כללי הפיסיקה הקלאסית אינם מתקיימים.[3]
גישתו מעוררת הפולמוס נדחית על ידי אסא כשר הטוען לגישה ראציונלית המנוסחת ומבוססת על הגיון מתמטי. הוא מזהה פגם מהותי הטבוע בגישה אפולוגטית, שאין היא נשענת על בסיס אמות מידה נורמטיביות ראויות שהן כללי המתמטיקה.[4]
ביקורת זו נדחית על ידי בועז צבאן הטוען למודלים מתמטיים וטיעונים מדעיים שיש בהם כדי להראות שכללי הגיאומטריה האוקלידית אינם תקפים בהם ובכך טוען שאין בדברי כשר כדי לדחות את גישתו של מונק.[5]
בהמשך לטיעון האפולוגטי, מוצע הסבר בעל אופי גיאומטרי משלים, שלצרכי חישוב מתמטי יש להמיר את העיגול לגוף גיאומטרי - רב צלעון ולכך יש חשיבות מרובה לפתרון סוגיות הלכתיות המשובצות בבעיות מתמטיות. ההלכה ממאנת להסתכל על צורת העיגול כפי שמשתקפת במציאות, אלא כגוף גיאומטרי שבו היקפו פי שלוש מרחבו כפי שהפסוק המקראי מכתיב. הגוף הגיאומטרי שבו תנאי זה מתקיים, הוא משושה משוכלל שהיקפו גדול פי שלש מקוטר המעגל החוסם אותו וזו גזרת הכתוב.[6] חישוב פשוט מראה שאכן, היקפו של עיגול והיקפו של משושה שווים. אראה זאת. יהי צלע המשושה R. קוטר העיגול החוסם אותו יהיה R2. היקף המשושה יהיה:
נראה לי שיש לתפוס הסבר זה כהסבר גיאומטרי משלים לצרכי חישובים בלבד והריאליה בבית המקדש לא הייתה כזו אלא צורת הכיור הייתה עגולה. לשון אחר, המקרא והתלמוד מלמדים אותנו, שלצרכי פסיקת הלכות, שבהן מופיע יחס בין ההיקף לקוטר כשעורכים חישובי היקף העיגול, יש להציב משושה משוכלל במקום המעגל החוסם אותו.[7]
רעיון המשך לכך מצאתי בדבריו של אברהם (אדולף) לוי, שלאופני הרכב שבבבל העתיקה היו שישה חישוקים, ואופנים כאלו צוירו במצרים העתיקה עוד בשנת 2,000 לפנה"ס. השערתו, שהכתוב בספר מלכים מדבר על משושה משוכלל שנרשם בתוך מעגל והדבר מבאר בנקל את הכתוב ללא דחק. הווה אומר, שאין בפשט הכתוב בכדי להצביע על היבט מתמטי כל שהוא כפי שניתן לדרוש מהמידה המיותרת לכאורה במקרא.[8] אכן, איתור ממצאים ארכיאולוגיים מהעולם העתיק מעלה, שלאופני המרכבות באותה העת היו שישה תומכים לחישוקים.[9] כדוגמא לכך, אצביע על ממצאים ארכיאולוגים ממקדש אבו סימבל במצרים בהם מרכבות שחישוקיהן נתמכו על ידי שישה תומכים אשר יצרו בהיקף הפנימי של הגלגל משושה משוכלל. בגדר האפשרות, שייצור או מדידת חישוק עגול בעת העתיקה היה באמצעות חבל בעל שישה קשרים במרחקים שווים זה מזה, אותו עיגנו בצורת משושה ולאחר מכן עידנו את ייצור או מדידת החישוק לצורה עגולה.[10]
יוצא לפי רעיון זה, שלבית המדרש חדר עיקרון חדש והוא עיקרון "המרת הצורה" לצרכי הלכה[11]. בהמשך אערוך דיון ביחסי השטחים בין עיגול וריבוע כהכרח להמשך הדיון בעיקרון זה.
[1] מונק, מתיתיהו. "שלוש בעיות הנדסיות בתנ"ך ובתלמוד", סיני, נא. תשכ"ב, עמודים 218-227..
[2] המשנה מתארת ניסים שהתרחשו בחלל המקדש. אבות ה ד: "עשרה ניסים נעשו בבית המקדש... ", הבבלי העורך חישובים למקום בארון בו אוחסן ספר התורה מסכם את החישובים בנס שהתרחש, מגילה י ע"ב:"דבר זה מסורת בידינו מאבותינו מקום ארון אינו מן המדה תניא נמי הכי ארון שעשה משה יש לו עשר אמות לכל רוח וכתיב (מלכים א ו) ולפני הדביר עשרים אמה אורך וכתיב כנף הכרוב האחד עשר אמות וכנף הכרוב האחד עשר אמות ארון גופיה היכא הוה קאי אלא לאו שמע מינה בנס היה עומד".
[3] ראו למשל מדרש על משה רבנו בבבלי, מנחות כט ע"ב שם מסופר שעבר במנהרת הזמן לעתיד לזמנו של ר' עקיבא וישב בבית מדרשו, תרחיש שהפיסיקה המודרנית מאשרת במידה ונטוס במהירות הגבוהה ממהירות האור.
[4] כשר, אסא. "למאמר שלוש בעיות הנדסיות", סיני, מוסד הרב קוק, ירושלים. תשכ"ג. עמודים צב-צד.: "יחס היקף העיגול לקוטרו.... כל אלה הם יחסים הנקבעים בתוקף הגדרותיהם של מעגל וריבוע, תוך שימוש בכללי הוכחה מסוימים, ולכן, בכל מקום שמדובר בעיגול וריבוע, על מעגל וריבוע, על היקף ושטח וכדומה, היחסים קבועים בתוקף המובן המילולי של המונחים, כך שאין לדבר על יחסים השוררים כאן ויחסים השוררים שם. לשון אחרת...הפסוקים המתמטיים הקובעים את היחסים האמורים אמיתיים באופן אנליטי".
[5] צבאן, אריה. על היחס שבין היקף עיגול לקוטרו, סיני, כרך קי"ז, מוסד הרב קוק, ירושלים: כסלו-טבת תשנ"ו, קפ"ו-קצ"א. המודל הראשון אותו הוא מתאר, המרחב הכדורי התלת-ממדי בו הגיאומטריה האוקלידית אינה תקפה ובו הישרים הם מעגלים גדולים אשר מרכזם האוקלידי הוא מרכזו של הכדור וקוטרו של כל מעגל שנבחר יהיה ישר כזה, קל להראות במרחב זה שהיחס בין היקף המעגל לקוטרו מתקרב ל 2 כאשר המעגל גדל, ושואף ל π כאשר המעגל קטן, אך לעולם לא יהיה שווה לו. קל גם להראות אקסיומות שאינן תקפות בגיאומטריה האוקלידית. למשל, שסכום זוויות המשולש במרחב הכדורי גדול תמיד מ 1800 לעומת משולש במרחב הגיאומטרי ההיפרבולי בו סכום זוויות המשולש קטן מ 1800. בהמשך, הוא מביא מודלים נוספים בהם הגיאומטריה האוקלידית אינה תקפה ומעיר שגם בפיסיקה המודרנית היחס בין היקף העיגול לקוטרו יכול להיות שונה מ π. הדברים אמורים כאשר עיגול מסתובב סביב צירו במהירות גבוהה, במקרה זה חוקי הפיסיקה משתנים והתופעה מקצינה ככל שהמהירות גדלה. עם שינוי המהירות, תמונת המרחב והזמן סובבות, מתפתלות ומצטיירות כעקומה המושפעת מהמהירות הקווית או הזוויתית.
[6] מונק, מתיתיהו. "שלוש בעיות הנדסיות בתנ"ך ובתלמוד", סיני, נא. תשכ"ב, עמודים 218-227.
[7] כלל זה אינו תקף על משושה כשיש צורך בחישוב שטחים ז"א, בהינתן עיגול ומשושה בעלי היקפים שווים, אין שטחם שווה. על כך מתייחס התוספות המעיר על פרשנותו של רש"י.
[8] הלוי, אברהם (אדולף). "ביאור חדש למלכים א' ז' פסוק כג'", ההד, ח'. ירושלים. תרצ"ה, עמוד כג.
[9] אסייג את דברי בכך, שלא רק שישה תומכי חישוקים בלבד מצאתי במרכבות העתיקות. בחלק מהממצאים היו יותר תומכי חישוקים ובחלק פחות
.
[10] בדומה ל"חבל המידות" בו השתמשו המצרים ליצור משולשים ישרי זווית.
[11] הרעיון של הפיכת קוים עקומים לקווים ישרים מרומז במשנה עירובין א ה כפי שמובא בהמשך, "עקומה, רואין אותה כאילו היא פשוטה. עגולה, רואין אותה כאילו היא מרובעת" ובעוד מקומות למשל, בכלים יח ב המשנה הדנה בשידה במנה עקום בעלת נפח שלוש אמות מעוקבות שאינה מקבלת טומאה מחמת גובהה. לפי המשנה יש למדוד את הנפח ב"ראש תור" והמשמעות, חכמים מתירים להציב קווים ישרים במקום קשתות על אף שהדבר עלול להביא לידי קולא. דוגמא זו ונוספות יובאו בהמשך.