על החישובים המתמטיים להכנסת ספר תורה לארון
מתוך חיבור שהוגש כעבודת גמר לקראת התואר MA "מוסמך אוניברסיטה": סוגיות מתמטיות בתלמוד מבט השוואתי עם המתמטיקה בעת העתיקה
תיאור הסוגיה
חז"ל עורכים חישובים על מנת להתאים מידות ספר התורה ולהראות אופן הכנסתו לארון. בסוגיה, מזהים גישה מתמטית לצד גישה מעשית ריאלית על מנת ליישב את הקשיים. נפתח בדיון על מידות הספר ולאחר מכן נצלול למעמקי הסוגיה ולאופני החישוב של חכמים.
על מידות הספר לֵמֵדים מהסוגיה הבאה:
"ת"ר אין עושין ספר תורה לא ארכו יותר על הקיפו ולא הקיפו יותר על ארכו".[1]. שהמידות חייבים לקיים את התנאי שמידת אורכו כמידת היקפו.
שאלו את רבי, שיעור ס"ת בכמה אמר להן: בגויל ששה בקלף בכמה איני יודע". משנשאל רבי על שיעור ספר התורה ענה, שאם הספר נכתב על גבי גוויל, גובהו יהיה שווה להיקפו בשיעור שישה טפחים. אם נכתב הספר על גבי קלף אין רבי יודע את ההלכה.
על הקושי ליצור ספר תורה העומד בתנאי זה למדים מהמקרים הבאים:
"רב הונא כתב שבעין ספרי דאורייתא ולא איתרמי ליה אלא חד". רב הונא כתב בחייו שבעים ספרי תורה, אולם הצליח רק בספר תורה אחד ליצור מידות בהן גובה הספר היה שווה להיקפו.
"רב אחא בר יעקב כתב חד אמשכיה דעיגלי ואיתרמי ליה יהבו ביה רבנן עינייהו ונח נפשיה".[2] רב אחא כתב בחייו ספר תורה אחד בלבד, ולצורך כתיבתו השתמש בעור עגל. בסיום המלאכה התברר שעלה בידו לעמוד בתנאי לפיו היקף הספר זהה לגובהו. אירוע זה היה כה נדיר עד חבריו התבוננו בהשתאות בספר וכתוצאה מכך שנפח את נשמתו.
פסקאות אלו ממחישה את הקושי ליצור תנאי זה ושברוב המקרים היקפו גדול מגובהו.
מכאן, שאמנם חכמים קבעו את הכלל שמידות הספר יהיו כאלה שהיקפו ואורכו יהיו 6 טפחים, אולם היה קושי רב ליישם קביעה זו משום שהיה קשה לגלול את הספר להיקף הנדרש, כפי שלמדים מהמשך הסוגיה. בנוסף לספר תורה, הונחו בארון שברי הלוחות והבבלי מתקשה בהכנסת הספר לתוכו משום שלפי המידות, הדבר אינו אפשרי ובנקודה זו מתקשרת הסוגיה לכלל המוזכר בארגז הכלים, "כל שיש בהקיפו שלשה טפחים, יש בו רוחב טפח" ז"א ככל שהקיף המעגל 3 טפחים יהיה קוטרו טפח אחד (משנה, ערובין א' ה').
מהלך הסוגיה בבבלי
לשון הבבלי: "מיתיבי: ארון שעשה משה[3] אמתים וחצי ארכו ואמה וחצי רחבו ואמה וחצי קומתו' - באמה בת ששה טפחים".
הבבלי מתאר מידות הארון שעשה משה בו היו מונחים לוחות הברית. המידות היו בשיעור 21/2 אמות אורך, 11/2 אמה רחב ו 11/2 אמה גובהו. מעירה הברייתא, שאורך האמה הינו שישה טפחים. יוצא איפה שמידותיו הן: 15 טפחים אורכו, 9 טפחים רוחבו ו 9 טפחים גובהו. הבבלי עובר לתיאור מידות הלוחות ואופן הנחתם בארון. "והלוחות ארכן ששה ורחבן ששה ועביין שלשה מונחות כנגד ארכו של ארון". שיעור מידות הלוחות, 6 טפחים כל לוח ברוחב 6 טפחים ומונחים לאורך הארון.
השלב הבא בדיון הוא החישוב. "כמה לוחות אוכלות בארון, שנים עשר טפחים". שיעור מידות הלוחות התופסות מקום בארון הם 12 טפחים מאורכו. מחשב הבבלי את יתרת המקום. "נשתיירו שם שלשה טפחים, צא מהן טפח, חציו לכותל זה וחציו לכותל זה" היתרה מאורך הארון, 3 טפחים מהן עובי דופן הארון בכל צד הוא 1/2 טפח. "נשתיירו שם שני טפחים, שבהן ספר תורה מונח, שנאמר, אין בארון רק שני לוחות האבנים אשר הניח שם משה".[4] יוצא, שלאורך הארון נותר מקום לספר התורה בשיעור 2 טפחים בלבד. "...ספר תורה שמונח בארון פירנסת ארון לארכו, ופרנס ארון לרחבו, לרוחב הארון". שיעור מידת הלוחות 6 טפחים. "כמה לוחות אוכלות בארון? ששה טפחים, נשתיירו שם שלשה טפחים; צא מהן טפח חציו לכותל זה וחציו לכותל זה, נשתיירו שם שני טפחים, שלא יהא ספר תורה נכנס ויוצא כשהוא דחוק, דברי רבי מאיר"". שהרי אורך הארון 15 טפחים אורכו, ואורכן המשותף של שני הלוחות הוא 12 טפחים ואם נחסיר את מידות עובי דפנות הארון נקבל שנשתיירו 2 טפחים בלבד לספר התורה על מנת שניתן יהיה להכניסו ולהוציאו בקלות ולא בדוחק.
תיאור ההיטלים ובמבט איזומטרי ואל תוך הארון סידור הלוחות והספר יראה כדלקמן:
ממשיך הבבלי. "ואי ס"ד ס"ת הקיפו ו' טפחים". קודם הובאו דברי רבי שענה ואמר, שאם נכתב ספר התורה על גוויל יש להקפיד שהיקפו יהיה 6 טפחים. מתעורר אם כן קושי מהברייתא על דברי רבי ובשלב זה מובא הכלל מארגז הכלים המתמטי.
"מכדי, כל שיש בהקיפו שלשה טפחים יש בו רוחב טפח". לפי הכלל "כל שיש בהיקפו", ספר תורה כשהוא גלול והיקפו שישה טפחים לפי דברי רבי, רוחבו יהיה שני טפחים,
"וכיון דלאמצעיתו נגלל נפיש ליה מתרי טפחא רווחא דביני ביני". שהרי כל ספר תורה נגלל לכיוון האמצע, ועל אף שלפי הכלל המתמטי הרוחב המתקבל של הספר התורה הוא 2 טפחים, באופן מעשי כאשר גוללים ספר תורה, רוחבו לאחר הגלילה הוא מעט יותר משני טפחים משום הרווח המתקבל בין שתי הגלילות.
ראיית חז"ל מעשית. חרף הנתון המתמטי, מזהים הם שעלולה להיווצר בעיה בהכנסת הספר,[5] והבבלי מתקשה בדברי רבי מאיר, "בתרי פושכי היכי יתיב". הרי לפי דבריו, בארון היו בנוסף לספר גם הלוחות שכתב משה, וספר תורה כשהוא גלול, רוחבו מעט יותר מ 2 טפחים משום הרווח בין שתי הגלילות, אם כך, איך מיישבים את דברי ר' מאיר שבארון היו מונח ספר התורה לצד הלוחות, הרי צר המקום להכילם.
משיב הבבלי, "אמר רב אחא בר יעקב ספר עזרה לתחלתו הוא נגלל". התירוץ הוא, שספר התורה שכתב משה היה גליל אחד אליו גללו את הקלף ובשל כך היה רוחבו בדיוק שני טפחים. לא נחה דעת הבבלי והוא מקשה שוב בראיה פרקטית מעשית.
"ואכתי תרי בתרי היכי יתיב". אמנם לפי החישוב הדברים מתיישבים, אולם באופן מעשי עדיין נותר קושי, כיצד ניתן היה להכניס ולהוציא את הספר מהארון ללא דחק למרות שרוחב המקום היה בדיוק כרוחב הספר.
משיב הבבלי ופותר את הבעיה בהסבר על הריאליה שננקטה. "אמר רב אשי דכריך ביה פורתא וכרכיה לעיל". שהגלילה הייתה ברוב הקלף והמעט שנותר נגלל לעצמו והיה מונח על גבי הקלף הגלול ברובו ובכך, רוחב הספר היה בפועל קטן מ 2 טפחים כפי שרש"י מפרש, "שאינו גוללו כולו ומניח בו מקצת וכורכו לעצמו ומניח אותו הכרך על הספר מלמעלה: וכרכיה לעיל. וכורכו למעלה על ההיקף: דמנח ליה מצד. אצל הכותל ולא בין שני הלוחות.[6].
התוספות בעירובין מזכיר סוגיה זו ומעיר ביחס אליה, שבעצם הקושי שהבבלי מקשה ומתרץ וחוזר ומתרץ תוך השענות על הכלל "כל שיש בהיקפו שלושה טפחים יש ברוחבו טפח". יש בכך בכדי להעיד שהוא ער לעובדה שהיחס אינו מדויק כלל ועיקר וזו לשונו: והאיכא משהו. משמע שהחשבון מצומצם וכן בפ"ק דב"ב (ד' יד:) גבי שני טפחים שנשתיירו בארון ששם ספר תורה מונח שהיא בהיקפה ששה טפחים ופריך כיון דלאמצעיתו נגלל נפיש ליה משני טפחים וכן בתר הכי דמשני בספר דעזרה לתחלתו נגלל ופריך אכתי תרי בתרי היכי יתיב משמע דמצומצם לגמרי וקשיא דאין החשבון מדוקדק לפי חכמי המדות".[7]
ניתוח הסוגיה
בדומה לממצא במסכת סוכה, גם בסוגיה זו מוצאים מובאה בשם רבי שאליה מנסים להתכנס,[8] "שאלו את רבי שיעור ס"ת בכמה אמר להן בגויל ששה".
הדיון המתחיל ב"מיתיבי" נושאי אופי סתמאי עתיר בחישובים פרטניים ובהם השימוש בכלל "כל שיש בהיקפו". בסיום הדיון, מצוטטים שלושה אמוראים, ר' אחא בר יעקב, רב הונא ורב אשי המסכם את הדיון.
ר' אחא בר יעקב, היה אמוראי בבלי בן הדור השלישי (290-320 לסה"נ) מתלמידי רב הונא שזכה גם לשאת ולתת עם גדולי הדור הרביעי אביי ורבא.[9]זיהויו של רב הונא אינו ברור. אפשרי שמדובר בר' הונא שחי בבבלבדור השני (250-290 לסה"נ) תלמידו המובהק של רב ממנו קיבל את רוב תורתו,[10]או ר' הונא שחי בבבל בדור האמוראים השישי, בן דורו, תלמידו וחברו הקרוב של ר' אשי ואותו מוצאים כמה פעמים במחיצתו, שואל ממנו ודן עמו בהלכה (375-425ל סה"נ).[11]
יוצא אם כן, ששיח ישיר בין כל האמוראים המוזכרים בסוגיית הכנסת הספר, אינו אפשרי ומדובר ככל הנראה בעריכה מאוחרת, בה סודרו הדברים על ידי העורך וביניהם שובצו הערות הסתמאים שערכו את החישובים ושיבצו טעמם של דברים.
הסרת הרבדים הסתמאים בסוגיה תצרף את הרישא בדיון זה לסיפא של דיון קודם ותעמידו את רצף הדברים כדלהלן:
ת"ר: אין עושין ספר תורה לא ארכו יותר על הקיפו ולא הקיפו יותר על ארכו. שאלו את רבי: שיעור ס"ת בכמה? אמר להן: בגויל - ששה. בקלף בכמה, איני יודע. רב הונא כתב שבעין ספרי דאורייתא, ולא איתרמי ליה אלא חד. רב אחא בר יעקב כתב חד אמשכיה דעיגלי ואיתרמי ליה, יהבו ביה רבנן עינייהו ונח נפשיה. אמרו ליה רבנן לרב המנונא: כתב רבי אמי ד' מאה ספרי תורה. אמר להו: דילמא (דברים ל"ג) תורה צוה לנו משה כתב. א"ל רבא לר' זירא: נטע ר' ינאי ארבע מאה כרמי. א"ל: דילמא שתים כנגד שתים ואחת יוצא זנב. [בנקודה זו מוסרים השכבות הסתמאיות ונמשך הדיון בשכבות הקדומות] אמר רב אחא בר יעקב: ספר עזרה לתחלתו הוא נגלל. ואכתי תרי בתרי היכי יתיב. אמר רב אשי: דכריך ביה פורתא וכרכיה לעיל".
בדיון המקדים לסוגיית הכנסת ספר התורה מוזכרים שלושה אמוראים. רב המנונא, רבא ור' זירא.
שני אמוראים בשם ר' המנונא מוזכרים בתלמוד. האחד, תלמידו של רב, חי בבבל בדור השני (250-290 לסה"נ) מחשובי תלמידיו של רב ושממנו למדו תורה ר' יוסף, ר' זירא ורב חסדא.[12] השני חי בבבל בדור השלישי (290-320 לסה"נ) שהיה מתלמידיו של ר' חסדא, ר' הונא ועולא, מגדולי הדור השני והשלישי לאמוראי בבל.[13]
רבא, מגדולי אמוראי בבל בדור הרביעי תלמידו של ר' חסדא וחברו של אביי (320-350 לסה"נ),[14] ור' זירא שהיה אמוראי בבלי בדור הרביעי, חברם של אביי ורבא (290-320 לסה"נ).[15]
בדיון הכולל מזהים שיח ישיר אחד בלבד בין שני אמוראים, בין רבא לר' זירא ושאר אמרות האמורים הן בלתי תלויות באמרה אחרת בשיח הבית מדרשי.
ממצא זה מאשש את הסברה שמדובר בעריכה מאוחרת בה שולבו החישובים ודברי הסתמאים על מנת לקבל רציפות בדיון. בנקודת ה"תפר" בין הדיון המקדים לדיון על הכנסת ספר התורה הושתלה השכבה המאוחרת הסתמאית, זו אשר כדרכם של הסתמאים ערוכה ומפרטת את החישובים וטעם הדברים.
יש להניח אם כן, שעריכת הסוגיה נערכה מאוחר יותר לישיבתו של ר' אשי המסַכְמהּ, "אמר רב אשי דכריך ביה פורתא וכרכיה לעיל".
לשון הבבלי בשכבה הסתמאית פרטנית וניכר מאמץ להפשטה מתמטית תוך תיאור חישובי ושימוש בהמשגה כוללנית ותיאורית.
לסוגיה זו מקבילה בירושלמי,[16] העורך גם הוא חישובים תוך ציון מידות הארון, הספר והלוחות, אולם לא מוזכר בחישוביו הכלל התַנַאי "כל שיש בהיקפו". משמע, אין הוא עוסק בגיאומטריה העגולה של צורת הגוויל. בולט השוני בין התלמודים במאמץ ליישב את קושי בעיית המקום בארון. הבבלי, מתמודד עם הגיאומטריה העגולה של הספר ונעזר בכלל המתמטי ולבסוף הפתרון המוצע על ר' אשי הוא על ידי תיאור הריאליה במקדש, "דכריך ביה פורתא וכרכיה לעיל", שהספר נגלל על ציר אחד בלבד וחלק מהגוויל נגלל סביב עצמו והיה מונח על הציר. לעומתו, הירושלמי אינו מזכיר את גיאומטריית הספר ואינו משתמש בכלל המתמטי ומנסה ליישב את בעיית המקום בארון בבחירת שיעור האמה והתאמתה.[17]
[1] בבא בתרא ב ע"א.
[2] בבא בתרא יד ע"ב.
[3] שמות כה י, "ועשו ארון עצי שטים".
[4] מלכים א, ח ט.
[5] יש לשים לב, שאם ההנחה היא שחכמים ידעו ערכו המדויק של π, רוחב הספר דווקא קטן מ 2 טפחים ואז הקושי נופל.
[6] בבא בתרא יד ע"א ד"ה: "דכריך ביה פורתא".
[7] עירובין יד ע"א ד"ה: "והא איכא משהו".
[8] סוכה ב ע"ב.
[9] אלבק, חנוך. מבוא לתלמודים. הוצאת דביר. תל אביב. 1969. עמודים 276-277, מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006.. כרך א. עמודים 30-31, היימאן, מרדכי אהרון. תולדות תנאים ואמוראים. לונדון. 1909. חלק א. עמודים 119-122, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם.. עמוד 48.
10] אלבק, חנוך. מבוא לתלמודים. הוצאת דביר. תל אביב. 1969.. עמוד 195, מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך א. עמודים 94-95, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמודים 77-78.
[11] מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך א. עמוד 97, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמודים 77-79.
[12] מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך א. עמודים 103-104, אלבק, חנוך. מבוא לתלמודים. הוצאת דביר. תל אביב. 1969.. עמודים 195-196, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמוד 83.
[13] מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך א. עמוד 104, אלבק, חנוך. מבוא לתלמודים. הוצאת דביר. תל אביב. 1969. עמודים 281-283, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמודים 84-85.
[14] מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך ב. עמודים 306-307, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמודים 254-255.
[15] מרגליות, מרדכי. אנציקלופדיה לחכמי התלמוד והאמוראים. ספרי חמד. 2006. כרך א. עמוד 109, אלבק, חנוך. מבוא לתלמודים. הוצאת דביר. תל אביב. 1969. עמודים 233-236, אדרי, יהודה. בנתיב האמוראים. ירושלים. תש"ם. עמודים 88-89.
[16] סוטה ח ג כב טור ג /הג. כ"י וונציה.
[17] "רבי מאיר אומר כל האמות היו בבינוניות על דעתיה דרבי מאיר דאמר באמה של ששה טפחים... ר' יודה אומר אמת הבניין ששה טפחים ושל כלים חמשה והן ארון כלי הוא על דעתיה דרבי יודה דאמר של חמשה טפחים היה הארון עשוי...".