על הדמיון במדידות עומק בין ספרות חז"ל ובין התרבות היוונית הקדומה
מתוך חיבור שהוגש כעבודת גמר לקראת התואר MA "מוסמך אוניברסיטה": סוגיות מתמטיות בתלמוד מבט השוואתי עם המתמטיקה בעת העתיקה
מבוא
פסקה זו תנתח את מרחב האפשרויות והטכניקות לאמוד עומקם של גיאיות לפי הבבלי. המשותף לכל האפשרויות והטכניקות הוא, הדרישה לידע בגיאומטריה שהיה קיים וידוע באותה העת ובחלק מהאפשרויות אף בטריגונומטריה. עובדה זו מהווה בסיס לטענה שהיה בידי חכמים הכלים המתמטיים בבחינת "דעת הטבע" בכדי לפתור בעיות פרקטיות בחיי היום יום.
אופני מדידת עומקו של גיא לשיטת הבבלי
"הרוצה לידע כמה עומקו של גיא מביא שפופרת ומביט בה ביבשה ויודע כמה עומקו של גיא."[1]
הרמב"ם כאמור הזכיר כיצד יושג החישוב המתמטי, באמצעות דמיון משולשים על אף שדבריו כוונו למדידת מרחק הספינה מהחוף ולא למדידת עומקו של גיא.[2]
רש"י מפרש, שהשפופרת הייתה מכוילת למדידת 2,000 אמה והוא גם מתאר את פרקטיקת המדידה: "ביבשה וימדוד כמה אמות הוא יכול לצפות בה ואח"כ ילך על שפת הגיא ויצפה בה לעומקו ויתרחק לאחוריו עד שיבחין שבמקום שכלה עומקו של גיא שם כלה צפיית השפופרת שאם יתרחק עוד מעט לא יראה את קרקעית הגיא וידע שעומקו של גיא והרחקתו שנתרחק משפתו הוי כמדת צפיית השפופרת".[3] את פשט ההסבר של רש"י ניתן להסביר במספר אופנים:
פשט הסברו של רש"י למדידת עומקו של גיא, באמצעות שפופרת מכוילת מרחק בלבד
לפי שיטה זו, רש"י מתכוון לגיא שלפחות שפתו האחת משופעת באופן שניתן להלך בה לאחור.
שלב ראשון: יש לכייל את השפופרת ויכייל את השפופרת למרחק ידוע.
שלב שני: יעמוד על שפת הגיא ויצפה לעומקה.
שלב שלישי: יתרחק אחורנית עד למרחק בו כייל את השפופרת.
ולפי לשונו של רש"י: "שם כלה צפיית השפופרת שאם יתרחק עוד מעט לא יראה את קרקעית הגיא וידע שעומקו של גיא והרחקתו שנתרחק משפתו הוי כמדת צפיית השפופרת". דהיינו:
עומק הגיא = המרחק בו כוילה השפופרת – המרחק משפת הגיא.
השיטה השניה למדידת עומקו של גיא, באמצעות שפופרת מכוילת זווית וטבלת עזר
לפי שיטה זו מרחק הצפייה אינו תלוי באורך השפופרת אלא בזוית ההטיה שלה. כאשר השפופרת אופקית מרחק הראיה גדול ביותר ותלוי בכושר הראיה של הצופה. ככל שזווית הטיית השפופרת גדולה יותר, המרחק ממקום עמידת הצופה לנקודת המפגש של קו הראיה עם הקרקע הינו קטן יותר. לפי עיקרון זה ניתן לכייל את השפופרת ולבנות טבלת ערכי המרחק בתלות זווית ההטיה ובכך, באמצעות מדידה אחת לקבל עומקו של גיא. דרך זו הייתה תלויה בגיאומטריה של הגיא וכן, אין היא נוחה למדידה ואין היא מעשית וגם אין עדות שהייתה זו דרכם של חכמים. לעומת זאת, דרכם של הבבלים הייתה לבנות טבלאות מוכנות בחישובים שונים, כך בשלשות פיתגוראיות וכך גם דרכם של המצרים הקדמונים.[4]
שיטה השלישית למדידת עומקו של גיא, באמצעות שפופרת מכוילת זווית ודמיון משולשים
שיטה זו פשוטה ומשלבת כיול זווית השפופרת וחישוב באמצעות דמיון משולשים.
שלב ראשון: מציאת רוחב הגיא. יעמוד על שפת הגיא ויטה את השפופרת עד שיראה את שפת הגיא בצד השני. מתקבל משולש ABC . יכייל את זווית השיפוע של השפופרת ABC >.
שלב שני: יסובב את השפופרת תוך שמירת הזוית, לכיוון היבשה, ויסמן את נקודת המפגש של קו הראיה עם היבשה, מסומן באת B'. רוחב הגיא ניתן למדידה עקיפה ויהיה רוחבו כמידת B'C .
שלב שלישי: יעמוד על שפת הגיא ויטה את השפופרת עד שקו הראיה יפגוש את קרקעית הגיא. קו זה חוצה את הקו הדמיוניBC בנקודה D. יש למצוא את אורך הקטע DC שיופחת מרוחב הגיא שנמצא בשלב השני, B'C =BC בכדי ליצור משולש BEF שצלעותיו יהיו ידועות.
שלב רביעי: יכייל את השפופרת לזווית EAC> ויהפוך פניו לכיוון היבשה. יצפה בשפופרת בזוית המכוילת ויסמן את נקודת המפגש של קו הראיה עם הקרקע, נקודה D'. היות וזווית השפופרת כוילה, המרחק CD זהה למרחק ביבשה CD', CD=CD'. אורך הקטע BD=EF הוא ההפרש בין רוחב הגיא לבין הקטע שנמצא CD=CD' דהיינו, BC-CD=BD=EF.
שלב חמישי: חישוב עומק הגיא. התקבלו 2 משולשים דומים שצלעותיהם ידועות, ADC~DEF. ניתן לחשב את עומק הגיא DF על פי היחסים הבאים:
פרשנים וחוקרים מביאים שיטות נוספות למציאות עומקו של גיא, כולן על בסיס פרקטיקות וידע מתמטי שהיה ידוע ומוכר בתקופת המשנה והתלמוד. שלמה חריר מתאר שיטה המבוססת על שפופרת מכוילת מרחק ופעולות חישוב טריגונומטריות,[5] וידע בגיאומטריה ודמיון משולשים או כפי לשונו של הרמב"ם, "ומי שלמד הנדסה עד כדי הבנת עניין זה ימצא שעניין זה קל אין צריך להאריך בו".[6] אורי צור ויהודה אשכנזי מציינים ובוחנים שיטות שונות של חכמים ומחלקן לשתי דרכים עיקריות. האחת, מדידת זוית מתחת לאופק ושימוש בדמיון משולשים והשניה, מדידה ישירה של מרחק על ידי ידיעת גבול חדות הראיה.[7]
על מדידת עומקה של באר בתרבות המתמטית היוונית
הטכניקה ששימשה למדידת עומקה של באר בעת העתיקה מבוססת גם היא על תאורמות המשולשים הדומים של אוקלידס ומתוארת בספרו: "כשהצמיד את העין בגובה 1.5מ' ובמרחק 1 מ' משפת הבאר שרוחבה 1.2 מ'".[8]
העיקרון של מדידת עומק הבאר פשוטה. חיתוך קו ראיית המודד עם קרקעית הבאר BE וקוטר הבאר AC יוצרים משולשים דומים,
CED ~ ABD וכן BEF~ABC.
בהתייחס למשולשים CEDו ABD, חישוב עומקה של הבאר יהיה לפי היחסים הבאים:
כל שיטות המדידה המוזכרות על ידי המפרשים למדידת עומקו של גיא, ישימות ומעשיות למדידת עומקה של באר וכל השיטות נשענות על עקרון תאורמות המשולשים הדומים של אוקלידס.
[1] עירובין מג ע"ב כ"י Vatican, Bibliotheca Apostolica , Ebr. 109.
[2] פירוש הרמב"ם למשנה. עירובין ד ב. ד"ה: "ואמרו הייתי מסתכל".
[3] עירובין. מג ע"ב ד"ה:" כמה עומקו של גיא מביא שפופרת ומביט בה".
[4]O’Connor, J. J. and E. F. Robertson. "Pythagoras’s theorem in Babylonian Mathematics", MacTutor History of Mathematics. December 2000 .
[5] Harir, Shlomo. Using mathematical Talmudic discussions in teaching. Phd thesis. Institute of Technology. Israel. 1999.
P 229-232.
[6] הערה 1.
[7] צור, אורי ואשכנזי, יהודה. "שפופרת דרבן גמליאל ועומקו של גיא – גאודסיה תלמודית", בד"ד-בכל דרכיך דעהו, 19. תשס"ח, עמודים 5-25.
[8] Thomas,Heath. A History of Greek Mathematics. Volume 1. Oxford at The Clarendon Press.1921. P 132