על הדמיון במדידות גובה בין ספרות חז"ל ובין התרבות היוונית הקדומה
מתוך חיבור שהוגש כעבודת גמר לקראת התואר MA "מוסמך אוניברסיטה": סוגיות מתמטיות בתלמוד מבט השוואתי עם המתמטיקה בעת העתיקה
רקע
התלמוד מלמד כיצד מודדים גובהו של דקל באמצעות קרני השמש וכיצד מודדים עומקו של גיא. תאלס, הפילוסוף והמתמטיקאי היווני שעסק בסוגיות גיאומטריות לצרכים פרקטיים פיתח גם הוא שיטה למדידת גובה על ידי קרני השמש ועל בסיס דמיון משולשים. שיטה זו נשענת על תאורמות היחסים בין משולשים דומים המפורטים בפרקים החמישי והשישי בספרו של אוקלידס "האלמנטים".[1] הדמיון וההקבלה בין התרבויות מובהקים.
[1]
Fitzpatrick, Richard. "Euclid’s Elements of Geometry" .2008. Dostupné z: http://farside. ph. utexas. edu/euclid. html p 154-201
מדידת גובה דקל לפי התלמוד הבבלי עם פירוש רש"י
"הרוצה לידע כמה גובהו של דקל - ימדוד צילו וצל קומתו, ויודע כמה גובה של דקל".[1]
הבבלי מתאר דרך למדוד גובה של עץ דקל לפי ש"מתיירא לעלות בו ולמודדו"...ימדוד צילו "של דקל ושל עצמו ופעמים שהצל רבה על המיצל ופעמים שהמיצל רבה על הצל כשחמה עומדת בגובה הרקיע צל כל דבר הוי קטן וכשחמה בשיפולו הוי צל ארוך הלכך מודד אף צל קומתו ולפי מה שיראה שירבה צל קומתו על קומתו ידע שריבוי צל הדקל על הדקל או כפלים או שליש או רביע".[2]
הבבלי מנצל עיקרון המשולשים הדומים על מנת למדוד צילו של גוף. הצל משתנה במהלך היום ותלוי במיקום השמש ברקיע. כאשר השמש עומדת "בגובה הרקיע" אזי "צל כל דבר הוי קטן" וכשהשמש עומדת "בשיפולו" של רקיע אז "הוי צל ארוך".
על כן, כאשר ירצה אדם למדוד בעקיפין גובהו של עץ (h) ישתמש בעקרון דמיון המשולשים:
h/a=c/b (1
ומכאן שגובה הדקל יתקבל לפי היחס
c/b X a h= (2
וזה מה שרש"י כותב:"ולפי מה שיראה שירבה צל קומתו על קומתו ידע שריבוי צל הדקל על הדקל או כפלים או שליש או רביע".[3]
[1] עירובין מג ע"ב כ"י Vatican, Bibliotheca Apostolica , Ebr. 109 .
[2] עירובין מג ע"ב ד"ה: גובהו של דקל".
[3] עירובין מג ע"ב ד"ה: "וצל קומתו".
הבבלי ממשיך ועוסק במתן עצות המבוססות על העיקרון, שאורכו של הצל מושפע מזווית הפגיעה של קרני השמש בגוף כלשהו. ככל שזווית הפגיעה חדה יותר כך אורך הצל גדול יותר.לשון הבבלי ופירוש רש"י שם:
"הרוצה שלא תשרה חיה רעה בצל קבר", כעין מצבה היו מציבין על הקבר כעין שאנו מגביהין וצוברין בו עפר ומשפע לכאן ולכאן והירא שלא תבא חיה רעה להסתופף בצל הקבר מפני חום השמש ויריח את המת ויחטטנו", נועץ קנה בארבע שעות ביום ויראה להיכן צלו נוטה, משפיע ועולה משפיע ויורד". "כשבא לעשות הבנין ינעוץ קנה בארבע שעות ביום שאותה שעה מתחיל השמש להתחמם והצל צונן ונוח כדאמרינן בברכות (ד' כז.) וחם השמש ונמס איזו שעה שהשמש חם והצל צונן הוי אומר זה ארבע שעות ולפיכך חיות מתאוות לצל באותה שעה ולאותו צד שיראה זה שצל הקנה נוטה. ישפע הבנין ויעשה שיפוע ארוך שלא יהא נוטה לו צל ואע''פ שכשתסוב החמה יהיה לו צל לצד אחר כיון דבההיא שעתא ליכא צל תו לא אתיא חיה להתלונן בצילו דההיא שעתא אזלא עד דמשכחא ועוד דלאחר ארבע שעות אף הצל חם ולא איכפת לה לחיה בצל".
לפני בניית המצבה על הקבר, ינעץ קנה במקום ויראה להיכן נוטה הצל של הקנה אחרי ארבע שעות היום.
באותו צד של הקבר, הצד המוצל ישפיע
גובה הקבר משפיע על אורך הצל. ככל שהקבר גבוה יותר, הצל ארוך יותר ולכן נדרש משטח ארוך יותר כדי לשפע את הקבר.
מדידת גובה הפירמידה לפי תאלס
תאלס הפילוסוף היווני, חי במאה השישית לפנה"ס. לזכותו זוקפים שהיה הראשון שיישם את העקרונות הגיאומטריים למדידת מרחקים וגבהים והניח את היסודות לתורה זו.[1] הוא מדד את גובה הפירמידות במצרים ולכך קיימות מס' גרסאות. אביא שתיים מהן.
את הגרסה הראשונה מביא המלומד היווני דיוגנס (Διογένης) הכותב כך: "תאלס מדד את גובה הפירמידות בעזרת הצל שהן מטילות וביצע תצפיתו בשעה שהצל שלנו הוא באותו אורך כמונו".[2] הגרסה השניה מתוארת בחיבוריו של הפילוסוף פלוטארך (, Πλούταρχος120 – 40 לפנה"ס) הפונה לתאלס באחד מחיבוריו כך: "אמסיס (מלך מצרים באותה העת) היה מרוצה באופן מיוחד מהמדידה שערכת לגובה הפירמידה ללא עמל רב או עזרה של מכשיר כלשהו, רק על ידי שתקעת יתד בקצה הצל המוטל על ידי הפירמידה, כך שנוצרו שני משולשים כתוצאה מקרני השמש, אתה הראית שהיחס שבין גובה הפירמידה ליתד הוא אותו היחס שבין הצל של גובה הפירמידה כלפי הצל של היתד..." [3]
בהיבט המתמטי מתקבלים המשולשים דומים הבאים: משולש AA'C דומה למשולש EDC ומשולש ABC דומה למשולש EFC כך שגובה הפירמידה מתקבל על ידי היחסים:[4]
[1] Johnston, Gorge Allman. Greek Geometry. From Thales too Euclid. London. 1889. p14
[2] ohnston, Gorge Allman. Greek Geometry. From Thales too Euclid. London. 1889 p17
[3] Vincenzo, Bongiovanni. "O Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numerico", Revista Eletrônica de Educação Matemática, V2.5. 2007. PP 94-106.
[4] Lother,Redlin and Saleem Watson. "Thales' Shadow", Mathematics Magszine, Vol 73, No 5. 2000, PP 347-353
מדידת גבהים בעולם העתיק - סיכום
השוואת שני המקורות העתיקים מצביעה על דמיון ברור ביניהם. היסטורית, שורשי הגיאומטריה היוונית ובהם הגיאומטריה של תאלס (המאה השישית לפנה"ס), ואוקלידס (המאה שלישית לפנה"ס), הקדימו את חכמים. סביר להניח, שמדע זה היה ידוע לכל בעולם העתיק והתהוות הקורפוס המשנאי והתלמודי היה בעולם בו מדע המתמטיקה היה מפותח.[1]
יחד עם הדמיון הברור בין שורשי הגיאומטריה היוונית לבין זו שבבבלי, יש לתת את הדעת על שלוש נקודות:
הנקודה הראשונה, מדוע ניכר דמיון כה רב לעולם היווני דווקא בתחום הגיאומטרי של מדידת גובה בעוד שלא זיהינו שום דבר דומה בתחומי מתמטיקה וגיאומטריה אחרים.
הסבר אפשרי לכך הוא, שהיות וחכמים עסקו בהיבטים מתמטיים בהקשרים מעשיים, יש לפרקטיקה מתמטית זו אזכור בתלמוד לעומת דיסציפלינות מתמטיות אחרות שבהם עסקו היוונים ושלא היו על סדר יומם משום אופיים התאורטי.
הנקודה שניה, מדוע דמיון זה מקבל ביטוי דווקא בתלמוד הבבלי שפרח בעולם הססני הרחוק מהעולם היווני לעומת הירושלמי שפעל בעולם יווני הלניסטי.
הסבר אפשרי לכך ניתן למצוא בדברי זוסמן המתאר את הירושלמי כ"צנום וקצר..." ואת הבבלי כ"בנוי לתלפיות ארוג ושזור לסוגיות ארוכות ורצופות".[2] דרך הלימוד בארץ ישראל הייתה קצרה ותמציתית לעומת הבבלי שדרכו להרחיב את הדיונים ולהתפלפל.
הנקודה השלישית, סוגיית מדידת גובה הדקל מופיעה בבבלי מיד לאחר סוגיית שפופרת שהייתה לרבן גמליאל לה מקבילה בירושלמי. מדוע סוגיית מדידת גובה הדקל לא קיבלה ביטוי בירושלמי.
הסבר מניח את הדעת לכך הוא, שסוגיה זו נערכה בבבלי לאחר חתימת הירושלמי. לשון הבבלי היא בעלת אופי סתמאי, "הרוצה לידע כמה גובהו של דקל". משמע, שכבה זו בתלמוד היא עריכהמאוח רת והדבר מסביר שאין לסוגיה זו מקבילה בירושלמי.
[1] כל זאת, מבלי להזכיר את מדע המתמטיקה בעולם ההודי והסיני אשר התפתח במקביל.
[2]זוסמן, יעקב. ושוב לירושלים נזיקין. מחקרי תלמוד א'. תש"ן. 97-98.