על הטכנולוגיה והשיטות למדידת מרחק בתלמוד ובתרבות היוונית הקדומה
מתוך חיבור שהוגש כעבודת גמר לקראת התואר MA "מוסמך אוניברסיטה": סוגיות מתמטיות בתלמוד מבט השוואתי עם המתמטיקה בעת העתיקה
מבוא
הדר בעיר מותר לו ללכת בשבת את כל העיר ומחוצה לה 2,000 אמה לכל רוח. מחוץ לתחום, דהיינו מחוץ לטווח 2,000 אמה מגבולות העיר אינו רשאי ללכת אלא אם עשה עירוב תחומים. ללא עירוב התחומין אינו רשאי ללכת אלא 4 אמות סביבו. מי שנמצא בין השמשות מחוץ לתחום, מרחק הגדול מ 2,000 אמה מגבולות העיר אין לו ללכת אלא 4 אמות סביבו. בפסקה זו, תתואר ברייתא המספרת על טכנולוגיה שהייתה בידי רבן גמליאל אשר באמצעותה מדד מרחקים. בהמשך, נשווה שיטה למדידת עומקו של גיא לפי הבבלי ולפי הידע שהיה בידי היוונים באותה העת אשר התבססו גם הם על תאורמות היחסים בין משולשים דומים המופיעים בפרקים החמישי והשישי בספרו של אוקלידס "האלמנטים".
שפופרת של רבן גמליאל , למדידת מרחק הספינה מהחוף
הבבלי מספר על שפופרת שהייתה בידי רבן גמליאל שבאמצעותה מדד מרחקים. חקר טכנולוגיה זו מעלה, שעל מנת לאמוד באמצעותה מרחקים, היה צורך לפחות בידע מתמטי וגיאומטרי בסיסי.
על טכנולוגיה זו מספרת המשנה: "פעם אחת לא נכנסו לנמל, עד שחשיכה. אמרו לו לרבן גמליאל, מה אנו לירד. אמר להם, מותר, שכבר הייתי מסתכל; והיינו בתוך התחום, עד שלא חשיכה".[1] מדובר בספינה שעל סיפונה היו חכמים ושהגיעה בערב שבת קרוב לחשיכה לקרבת החוף. במידה והספינה הייתה קרובה לחוף מרחק עד אלפיים אמה, הרי שנמצאת היא בתחום השבת והיה היתר הלכתי לחכמים שעל סיפונה לרדת. היה ומרחקה היה מעל אלפיים אמה, עליהם היה לעשות את השבת בלב ים בבטן האנייה עד צאת השבת. שאלוהו לרבן גמליאל, האם הספינה נמצאה בתחום השבת ותשובתו הייתה חיובית. המשנה אינה מספקת פרטים כיצד ידע רבן גמליאל את מיקומה של הספינה פרט לכך שרבן גמליאל "היה מסתכל". כיצד הסתכל ובמה, אין המשנה מספרת. אולם הבבלי והירושלמי נדרשו לכך.
[1] עירובין ד ה כ"י Budapest, Akademia , Kaufmann A 50.
הבבלי מצטט ברייתא המסבירה באיזה אופן קבע רבן גמליאל שנמצאים הם בתחום השבת וההסבר הוא באמצעי ראיה שהיה לו, השפופרת: "תנא שפופרת הייתה לו לרבן גמליאל שהיה מביט וצופה בה אלפים אמה ביבשה וכנגדה אלפים בים"[1]
אלא שהבבלי אנו מספק הסבר פרטני, מהי השפופרת ומה הייתה טכניקת המדידה ובאילו עזרים או כללים השתמש אולם מרחיב את אמצעי השימוש גם למדידת עומקו של גיא או גבהו של דקל. היות ועדשות וטכניקת ליטושן לא היו בנמצא באותה העת אטען על כורחי שנעזר רבן גמליאל בידע מתמטי גיאומטרי לחישוב המרחק.
רש"י מוסיף הסבר משלו ואף מתאר את המכשיר ותכונותיו: "קנה חלול וכשהוא ארוך אין צופין בו למרחוק, וכשהוא קצר צופין בו יותר. והיתה שפופרת של רבן גמליאל מתוקנת למדת צפיית אלפים או בים או ביבשה"[2]
שיטתו של רש"י התבססה על בסיס ההנחות הבאות, שרבן גמליאל ידע לפחות מרחק אחד ושהיה בקיא בגיאומטריה (דמיון משולשים) וזאת מנין. משום הסוגיה הבאה אחריה היא סוגיית "הרוצה לידע כמה גובהו של דקל". שם, הוראות המדידה התלמודיות מנחות למדוד "צילו (של דקל) וצל קומתו (של המודד)", והשיטה הפשוטה ביותר היא דמיון המשולשים, שהייתה כבר נפוצה באותה העת.[3]
[1] עירובין מג ע"ב כ"י Vatican, Bibliotheca Apostolica , Ebr. 109.
[2] עירובין מג ע"ב. ד"ה: "שפופרת".
[3] כבר במאה השישית לפנה"ס הביא תאלס ממיליטוס הידע המתמטי שנצבר במצרים ובבבל ועבודתו הדדוקטיבית עסקה כבר אז בסוגיות גיאומטריות ובהן דמיון משולשים. ארבל, בנו. קיצור תולדות המתמטיקה. מכון מופ"ת תירוש. תשס"ה .2005 . עמוד 2.
המאירי, סובר שלא נערך שום חישוב בשימוש בשפופרת זו אלא כיול זווית בלבד. השיטה הייתה כיול זווית השפופרת ביחס לניצב הקרקע. שהעמידוה על גבי עמוד בגובה ארבע אמות, ממקום העמוד מדדו בפועל 2,000 אמה ושם הונח חפץ כלשהו ואת הזווית מראש העמוד למקום החפץ קיבעו בסימון ואז הבדיקה הייתה פשוטה: "כשהיה מטה אותה ומשפעה לפי השיפוע היה רואה שיעור קטן, והוא היה יודע השיפוע הראוי למידת אלפים אמה וכן לכל השיעורין".[1] מה שבטווח השפופרת הרי הוא בתחום 2,000 אמה ומה שמחוץ לטווח השפופרת הרי הוא מחוץ לתחום.
הירושלמי מציין שרבן גמליאל ידע את המרחקים בין מצודותיו שהיו פרוסות בחוף ובאמצעותן כייל את השפופרת שבידו למדידת 2,000 : "מצודות היו לו לרבן גמליאל שהיה משער בה עיניו במישר".[2]
[1] ברוידא. שמחה זיסל. חידושי המאירי על מסכת עירובין. מוסד הרב קוק. 1983.,
עירובין מג ע"ב.
[2] עירובין וילנא ד ב. במהדורת ונציה ד כ"א ד /מ"י "משעיר".
הירושלמי מציין שרבן גמליאל ידע את המרחקים בין מצודותיו שהיו פרוסות בחוף ובאמצעותן כייל את השפופרת שבידו למדידת 2,000 : "מצודות היו לו לרבן גמליאל שהיה משער בה עיניו במישר".[1]
גרסת רבינו חננאל היא, שבירושלמי נפלה טעות סופר וצ"ל, "מצופית הייתה לו לרבן גמליאל...",[2] "מצופית". מלשון צפייה. כך גם גורסים ר' יהודה בר ברזילי אלברצלוני בספר העיתים,[3] ושאול ליברמן.[4] הוא מסביר את הטכניקה שננקטה, כיול השפופרת ביבשה למרחק 2,000 אמה ולאחר מכן מדידה בים, "שהיה צופה ומביט בה אלפיים אמה ביבשה, וכנגדן אלפיים אמה בים. פ' כעין שפופרת עשויה מן נחושת היתה לו לרבן גמלי' ושיער בה אלפיים אמה ביבשה והייתה אצלו לשער בה בים".[5] לפי פירוש זה, תנאי הכרחי לתפעול השפופרת, שיש לבדקה ביבשה ולאפסה/לכיילה ולאחר מכן ניתן לערוך מדידה בים ובאמצעות חישוב למצוא את המרחק הנדרש בים.
לפי הסבר זה, שדה הראיה של השפופרת עומד ביחס הפוך לאורכה ולרבן גמליאל הותאמה שפופרת למדידת מרחק העירוב, 2,000 אמה ודרכה היה רואה דרכה אם היא נמצאת בתחום השבת.[6]
[1] עירובין וילנא ד ב. במהדורת ונציה ד כ"א ד /מ"י "משעיר".
[2] וכפי הסבר, שהיה צורך לכייל את השפופרת ביבשה והיה יודע את המרחק בים.
[3] עמוד 48. "מצופית הייתה לו לר"ג וה' משער בה עיניו למישור אלפיים מאמה וה' משער בה בים".
[4] ליברמן, שאול. תוספתא כפשוטה. באור ארוך לתוספתא. ניו יורק. תשכ"ב. עמוד 282. ד"ה: "פעם אחת לא נכנסו".
[5] מצגר. מצגר, דוד. פירושי רבינו חננאל בר חושיאל לתלמוד. מכון "לב שמח". ירושלים. תשנ"ג. עירובין מג ב.
[6] ובלשון פירוש הברטנורא למשנה עירובין ד ב:" שהייתה מתוקנת למידת צפית אלפיים אמה".
הרמב"ם מסביר שרבן גמליאל חייב היה להיות בקיא בגאומטריה וביחס משולשים על מנת למדוד תחומי השבת באמצעות השפופרת וכך הוא כותב:
"הייתי מסתכל, כלומר על ידי כלי, לפי שאפשר לדעת איזה מקום שתרצה ממה שתשיגהו ראיית העין באמצעות כלי שעושים המהנדסים, ואפשר להשיג את זה גם במחוגת האסטרולאב ואיני רואה שכדאי להעריך ולבאר איך רואים את זה מפני שיארך הדבור וימשך ולא ישיג ממנו תועלת אלא מי שיודע הנדסה ומי שיודע יחסי המשולשים הדומים, והאיך אפשר להשיג ידיעת הצלע הבלתי ידוע אם ידועים לנו צלעות אחרות ידועות. ומי שלמד הנדסה עד כדי הבנת עניין זה ימצא שעניין זה קל אין צריך להאריך בו".[1]
ההקבלה שעורך הרמב"ם בין השפופרת לבין האסטרולאב הגיונית. השימוש בו היה נפוץ בעיקר בקרב ימאים וחייב לדעת נקודת ייחוס קבועה. לימאים נקודה זו הייתה כוכב הצפון.[2] לעומת זאת, השימוש בשפופרת ביבשה היה ללא נקודת הייחוס קבועה, ונקבעה היא בכל פעם על ידי כיול השפופרת לפני השימוש בדומה לכיול המתואר בבבלי.
בספרות חז"ל מוזכר אם כן כלי שבאמצעותו מדד רבן גמליאל מרחק מספינה לחוף. אופני המדידה והחישוב אינן מפורטים במקור והפרשנות מנסה להתחקות אחר פרוצדורה זו על ידי מיפוי אופני הכיול והמדידה של השפופרת.
[1] פירוש הרמב"ם למשנה. עירובין ד ב. ד"ה: "ואמרו הייתי מסתכל".
[2] האבן עזרא שהיה נועז בחידושיו התעניין בשטחי מחשבה ומדע רבים. בחיבורו "כלי נחושת לר' אברהם בן עזרא" הוא מתאר בפירוט רב את האסטרולאב ואופני השימוש בו, שהיה הוא הכלי העיקרי בשימוש בזמן ההוא.
מדידת מרחק ספינות מחוף הים בתרבות היוונית
עדויות על מדידת מרחק ספינות מחוף הים בעת העתיקה מוצאים אנו בכתבי פרוקלוס איש נאוקרטיס המעיד שתאלס מדד מרחק ספינות מחוף הים.[1] ההנחה המקובלת היא, שתאלס מדד מרחק זה לפי עיקרון פשוט של דמיון משולשים, פרוצדורות המפורטות בפרקים החמישי והשישי בספרו של אוקלידס "האלמנטים". אפשרות אחת היא, שהשתמש באמצעי כלשהו (שפופרת?) לצפייה באוניה ונשען על עיקרון דמיון המשולשים לפי המרשם הבא.
[1] ג'ונסטון. מתאלס לאוקלידס. עמודים 9,14, אוקונור ורובסון. תאלס ממיליטוס.
מדידת מרחק ספינות מחוף הים בתרבות היוונית
עדויות על מדידת מרחק ספינות מחוף הים בעת העתיקה מוצאים אנו בכתבי פרוקלוס איש נאוקרטיס המעיד שתאלס מדד מרחק ספינות מחוף הים.[1] ההנחה המקובלת היא, שתאלס מדד מרחק זה לפי עיקרון פשוט של דמיון משולשים, פרוצדורות המפורטות בפרקים החמישי והשישי בספרו של אוקלידס "האלמנטים". אפשרות אחת היא, שהשתמש באמצעי כלשהו (שפופרת?) לצפייה באוניה ונשען על עיקרון דמיון המשולשים לפי המרשם הבא.
[1] ג'ונסטון. מתאלס לאוקלידס. עמודים 9,14, אוקונור ורובסון. תאלס ממיליטוס.
בראש מגדל הותקן אמצעי צפייה ע"ג עמוד שגובהו ידוע AD. הגובה מסביב המגדל על לראש ההתקן עליו עמד אמצעי הצפייה גם הוא מדיד וידוע. כל שהיה לתאלס לעשות הוא לבנות משולש ישר זווית דמיוני ADE ולמדוד את בסיס המשולש DE. היות ומשולשים ABC ו ADE דומים, הרי שמרחק הספינה מהמגדל יהיה נתון לפי החישוב הבא:[1]
[1] Thomas,Heath. A History of Greek Mathematics. Volume 1. Oxford at The Clarendon Press.1921.p 132
אפשרות שניה פשוטה ומעשית יותר בה הרגישות לשגיאת מדידה קטנה יותר היא, שהוא בנה משולש ABC דמיוני שבסיסו נבנה ביבשה והוא מדיד וצלעותיו הדמיוניות AB ו AC הן קווי הראיה הנחתכות בדיוק בנקודת המפגש עם האוניה, ממנה הורד גובה דמיוני גם הוא AD. זוויות הבסיס b,c נמדדו גם הן. לכך, בנו משולש אחר על היבשה, EFG עם בסיס בגודל קטן יותר FG שגם הוא מדיד, ממנו הורד גובה מדיד H כשזוויות הבסיס שלו f,g זהות לאלו אשר נמדדו במשולש הדמיוני ABC. כל שנותר הוא לחשב באמצעות יחסי הדמיון את מרחק הספינה מהחוף.
שתי האפשרויות שונות מהותית מהמסופר בתלמוד. בעוד שבתלמוד המדידה בוצעה מהספינה לחוף, המדידה של תאלס בוצעה מהחוף לספינה. במידה ותאלס מדד את המרחק באמצעות שפופרת כלשהי בדומה למסופר בתלמוד, הרי שהמדידה יכולה להיעשות גם מהחוף וגם מהספינה. לעומת זאת, אפשרות המדידה השניה, מעשית רק מהחוף. יחד עם זאת, בכל האפשרויות נעזרים בתאורמת המשולשים הדומים של אוקלידס.